Алгоритм для решения обратной геодезической задачи

Содержание

Решение обратной геодезической задачи
Определение отметок точек
Обратная геодезическая задача.
Огз решают в следующей последовательности:
ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Угловая засечка.
Линейная засечка.
Точность решения геодезических задач.

Решение обратной геодезической задачи

Основой решения является расчетная схема рис.1.5.

1. Выписать исходную информацию (расчетная схема соответствует рис.1.10).

2. Вычислить приращения координат по формулам (1.6).

3. На микрокалькуляторе вычислить румб и длину линии по формулам (1.7)-(1.8).

4. По знакам приращений определить название румба в соответствии с рис.1.6.

5. От румба перейти к дирекционному углу по формулам связи (рис.1.4).

6. Сравнить вычисленные значения с измеренными. Расхождения не должны превышать 2 мм в длине линии и 1 0 в дирекционном угле.

Задача решается на микрокалькуляторе. Но при этом непосредственно определить угол  по формуле:=arc tg(у/х), вытекающей из уравнений (1.4), невозможно из-за неоднозначного решения задачи. Так прих отрицательном,у положительном их положительном,у отрицательном получим одинаковые значения. Для контроля вычисления можно выполнить через радианы. Связь между градусами и радианами:

r рад =r 0 / 57.29578 ;r 0 =r рад 57.29578. (1.10)

2. Приращения координат: x=X_B -X_A=6064410 — 6065675 = -1265 м,y=У_В— У_А= -188318–(- 188030) = — 288 м.

3. Румб линии через градусы, установив программу DEG:

/r/ = arc tg ( Δу / Δх )=”288” : ” 1265” = ”2ndF» tg -1 ” = 12.826 0 = 12 0 50′ .

Длина линии (программа DEG):

d=x/Cosr=“12.826“Cos”2ndF“1/x”×”1265”=1297 м. Второе вычисление:d=y/Sinr=“12.826“Sin”2ndF“1/x”×”288” = 1297 м. Расхождений в вычислениях не должно быть.

4. В соответствии со знаками приращений румб r = ЮЗ:12 0 50′.

5. Дирекционный угол = 192 0 50′.

6. Расхождение в длине линии 3 м, в румбе 10′. Расхождения допустимы.

Пример вычисления румба через радианы. Программа RAD:

arctg(Δу/Δх )=”288”:”1265“=“2ndF»tg -1 ”=»×»57.2958″=12.826 0 =12 0 50′.

Вычисления следует выполнять по разным формулам. Так, решение прямой задачи выполняется через дирекционные углы по формулам (1.4) и через румбы по формулам (1.5), кроме первой четверти. В северо-восточной части r= , контроля не будет. В этом случае, как и при решении обратной задачи, вычисления следует вести через градусы и через радианы.

Определение отметок точек

Отметки точек определяют по правилам, см. фрагмент листа карты (рис.1.1).

1. Точка лежит на горизонтали. Отметка точки равна отметке горизонтали: Н₁=152.5 м.

2. Точка лежит между разноименными горизонталями. Отметка точки определяется графической интерполяцией на глаз: Н₂=150+2.5/3=150.8 м.

3. Седловина. Отметка точки равна отметке ближней горизонтали ± полсечения рельефа: Н₃=152.5+h/2=153.8 м или 155 – h/2 = 153.8 м.

4. Определяемая точка лежит между горизонталью и точкой с подписанной на карте отметкой. Отметка определяется графической интерполяцией: Н₄=155+(156.9–155)/2=155.7 м.

5. Точка лежит на полугоризонтали: Н₅ = 155 +h/ 2 = 156.2 м.

6 и 7. Отметки вершин: H₆ =155 +h/ 2 = 156.2 м;H₇ = 156.25 (полугоризонталь)+h/4=156.8 м.

Источник

Обратная геодезическая задача.

Обратная геодезическая задача (ОГЗ) на плоскости заключается в нахождении дирекционного угла α направления с одной точки на другую и расстояния Дмежду ними по прямоугольным координатам данных точек.

Из рисунка 24 и формулировки обратной геодезической задачи известны:

α – дирекционный угол направления с точки А на точку В;

Д – расстояние (дальность) между точками А и В.

В прямоугольном треугольнике АСВ катеты АС и СВ соответствуют приращениям координат:

Таким образом, в прямоугольном треугольнике АСВизвестны два катета, по которым можно определить все его остальные элементы: острый уголСАВ, равный дирекционному углуα, и гипотенузуД(дальность).

Обратная геодезическая задача решается теми же способами и средствами, что и прямая геодезическая задача.

Огз решают в следующей последовательности:

Пусть в точке А находится огневая позиция (ОП), а в точке В – цель (Ц).

По теме: Что такое высота местности над уровнем моря

1. По известным координатам ОП и цели вычисляют приращения координат ΔХ и ΔY:

(58)

2. Определить острый угол α´(рис. 22) по формуле:

(59)

От угла α´перейти к дирекционному углуα в соответствии со знаками приращений ΔX и ΔY, согласно схеме (рис. 23), или по таблице:

Источник

ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

11.

ПРЯМАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Дано. Плоские прямоугольные координаты (в дальнейшем координаты) 1 (х₁, у₁) начальной точки линии 12, дирекционный угол α₁₂, горизонтальное проложениеs₁₂ (рис. 4.1). Требуется вычислить координаты конечной точки 2 (х₂, у₂) этой линии.

Решение.Вначале дадим определение понятию «приращение координат». Направленный прямолинейный отрезок 12 можно считать вектором, длина которого равна s₁₂. Приращение координат — ортогональная проекция вектора на координатные оси прямоугольной системы координат. Из математики известно, что проекция вектора на координатную ось равна координате его конца без координаты начала. Поэтому приращения координат

Напомним, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его проекций на оси координат, т. е.

Поскольку направление вектора может изменяться от 0 до 2 π, то приращения координат могут быть как положительными, так и отрицательными величинами в зависимости от значения дирекционного угла α₁₂. Приращения координат в системе координат хОу будут (рис. 4.1): ∆х₁₂>0,∆y₁₂>0. Из решения прямоугольного треугольника 1А2 (см. рис. 4.1) находят

Искомые координаты точки 2, как следует из формулы (4.1), будут

Задача. Дано: х₁ = +250,15 м; y₁ = — 410,34 м; α₁₂ = 134º10, 0’; s= 150,24 м. Вычислить х₂ и у₂.

Решение. По формулам (4.3) получим: ∆x₁₂= — 104,68 м; ∆y₁₂ = +107,77 м. Неизвестные координаты вычисляют по формуле (4.4). Они равны: х₂ = +250,15 + ( — 104,68) = 145,47 м;

у₂ = -410 34+ 107,77 = -302,57 м.

Решение прямой геодезической задачи тождественно решению задачи по определению координат точки способом полярных координат, когда сделан перенос начала координат из точки О в точку 1.

ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Дано. Координаты точек 1(х₁, у₁) и 2(х₂, у₂) концов линии 12. Требуется вычислить дирекционный угол направления 12 – α₁₂ и горизонтальноепроложение s₁₂.

Решение. Из прямоугольного треугольника (см. рис. 4.1) следует, что искомый дирекционный угол можно найти из следующих соотношений:

Для контроля решения обратной геодезической задачи горизонтального проложения применяют также формулу

Чтобы однозначно определить числовое значение дирекционного угла α₁₂, необходимо принять во внимание знаки приращений координат, которые определяют направление линии.

Алгоритм для нахождения дирекционного угла линии 12 из решения обратной геодезической задачи имеет вид

При этом, если то К₁=0; иначе К₁=1. Если , то К₂=0; иначе К₂=1.

Задача.Даны координаты двух точек, м: 1 (+123,37, — 245,23), 2 (-256,23; +300,18). Найти дирекционный угол α₂₁ и горизонтальноепроложениеs₂₁.

Pешение. Вначале вычисляют приращения координат. Получают:

По формуле (4.7) находят дирекционный угол направления 21:

Источник

Угловая засечка.

Даны геодезические координаты В₁, L₁ и В₂, L₂ двух точек Q₁ и Q₂, а также направление с этих точек на третью точку Q₃. В качестве могут служить азимуты линий А₁₃ и А₂₃ или горизонтальные углы β₁₃ и β₂₃ в заданных пунктах. Линиями, для которых заданы направления, могут быть геодезические линии, нормальные сечения, центральные сечения и т.п. Необходимо найти геодезические координаты точки Q₃.

Линейная засечка.

Даны геодезические координаты В₁, L₁ и В₂, L₂ двух точек Q₁ и Q₂, а также длины линий s₁₃ и s₂₃, соединяющих точки Q₁ и Q₂с третьей точкой Q₃. В качестве таких линий могут служить геодезические линии, нормальные сечения, центральные сечения и т.п. Необходимо найти геодезические координаты точки Q₃.

По теме: Практическая работы по географии 6 класс съемка плана местности ответы

Точность решения геодезических задач.

Математические методы решения геодезических задач обеспечивают выполнение вычислений с любой практически необходимой точностью. Однако чем выше требуемая точность, темсложнее вычислния. Поэтому при любых вычислениях следует заранее установить практически необходимую точность, чтобы вычисления были экономны, не требовали лишних затрат вычислительного труда.

Выполняя любые сложные технические расчёты, необходимо учитывать, что на точность результата вычислений оказывают влияние три вида погрешностей:

Погрешности исходных данных, являющиеся обычно функциями погрешностей измеренных величин;

Погрешности формул, представляющих приближённые математические зависимости (например, отброшенные члены в рядах);

Погрешности вычислений, возникающие из-за округления чисел как в процессе вычислений, так и при использовании приближённых значений тригонометрических функций и различных вычислительных средств (счётных машин), выдающих как правило округлённые числа.

Точность результата вычислений определяют главным образом погрешности исходных данных, отражающие современный уровень техники и методов измерений. В соответствии с этой точностью должны подбираться формулы и вычислительные средства.

Исходными данными для всякого рода вычислений в геодезии кроме постоянных величин являются результаты измерений линий и углов.

Наивысшую точность определения взаимного положения точек земной поверхности при современном уровне техники измерений даёт триангуляция 1 класса.

В триангуляции 1 класса углы определяются с погрешностью ±0,7″, а длины сторон с относительной погрешностью 1:400 000. Длины сторон должны быть не менее 20 км.

Линейный сдвиг конечной точки линии длиной 20 км, вызываемый погрешностью измеренного угла или погрешностью измеренной стороны, равен

Проекция линейного сдвига на меридиан в градусной мере выразится

В триангуляции 1 класса геодезические координаты и азимуты вычисляются последовательно от пункта к пункту. Чтобы не допустить накопления погрешностей в координатах за счёт погрешностей вычислений, широты и долготы вычисляют с точностью до 0,0001″.

Уравненные на станции измеренные направлении выводят до 0,01″. Чтобы избежать накопления погрешностей при передаче азимута от пункта к пункту, геодезические азимуты принято вычислять с точностью до 0,001″. В каталоги координат помещаются округлённые после уравнивания геодезической сети значения: координат до 0,001″, азимутов до 0,01″.

Пути решения прямой и обратной геодезических задач.

Существует два основных способа решения прямой и обратной геодезических задач:

Прямой, или непосредственный путь.

Прямой или непосредственный путь заключается в решении сфероидического треугольника АРВ. В этом случае известны две стороны – АР = 90 о — В₁, АВ = s и угол между ними А_1.2 Из решения треугольника непосредственно определяются три остальных элемента, являющиеся искомыми, — ВР =90 о — В₂, т.е широта В₂ ; АВР = (360 о – А_2.1) , т.е обратный азимут А_2.1, и l – разность долгот пунктов А и В, по которой легко вычисляется долгота L₂ = L₁ + l .

При решении обратной геодезической задачи известні следующие три элемента: В₁, В₂, и l . Из решения треугольника находят углы РАВ = А_1.2 , АВР = (360 о – А_2.1) и сторону АВ = s, т.е расстояние между заданными пунктами.

Косвенный путь решения главной геодезической задачи заключается в выводе разностей широт, долгот и азимутов данного и определяемого пунктов – т.е (В₂ – В₁), (L₂ – L₁) и (А_2.1 – А_1.2 ± 180 о ), после чего определяемые геодезические координаты получаются из выражений:

Формулы для решения обратной геодезической задачи обычно получаются из формул для решения прямой задачи путём соответствующих математических преобразований.

Порядок решения главной геодезической задачи с применением прямого пути :

От сфероидического треугольника АРВ переходят к треугольнику некоторой вспомогательной сферы и устанавливают одновременно аналитическую или геометрическую связь между элементами обоих треугольников.

После перехода от эллипсоидального треугольника к сферическому определяют все элементы последнего,

Пользуясь теми же законами связи сфероидического и сферического треугольников, осуществляют обратный переход на сфероид, т.е. определяют элементы сфероидического треугольника, являющиеся искомыми, в прямой геодезической задаче:

По теме: Арктический климат среднее количество осадков

широту второго пункта,

разность долгот обоих пунктов

Во всех случаях прямого пути решения главной геодезической задачи сферическая поверхность используется как промежуточная. Она может быть использована при выводе формул, и в процессе промежуточных вычислений. Решение треугольника на сфере происходит по замкнутым формулам; переход от элементов сфероидического треугольника к сферическому и обратно – по разомкнутым.

При решении геодезических задач на сравнительно малые расстояния целесообразно применять косвенный путь решения задачи и использовать ряды по возрастающим степеням s. При этом упрощения формул и вычислений применяют следующие способы:

Формулы, основанные на использовании средней широты и среднего азимута стороны, по которой решается геодезическая задача.

Формулы для решения задачи по способу вспомогательной точки. Сущность способа заключается в том, что искомая разность координат определяемой и данной точек вычисляется не непосредственно, а через целесообразно выбранную вспомогательную точку, в результате чего отдельные члены разложения становятся малыми, и их погрешностями можно пренебречь.

Метод решения задачи с использованием вспомогательной сферы. В этом способе треугольник АРВ изображается на сфере по определённому закону и по известным данным геодезической задачи. После решения полученного сферического треугольника осуществляется обратный переход со сферы на сфероид, но, в отличии о т прямого пути решения задачи, треугольник на сфере решается по особым формулам, позволяющим находить разности элементов этого треугольника ( а не сами элементы, как при прямом пути решения задачи). Переход со сферы на сфероид осуществляется также путём переноса разностей его элементов, являющимися искомыми разностями широт, долгот и азимутов. В этом состоит принципиальное отличие этого косвенного метода решения задачи от прямого. Данный метод решения главной геодезической задачи целесообразно применять при сравнительно незначительных расстояниях между пунктами.

Несколько отличается метод решения главной геодезической задачи, основанный на замене сфероидических треугольников соответствующими плоскими, образованными из хорд эллипсоида, в результате чего получаются замкнутые формулы, определяющие искомые разности координат и пригодные для решения задачи при любых расстояниях между пунктами.

Решение прямой геодезической задачи по способу Бесселя.

Формулы Бесселя для решения прямой геодезической задачи были опубликованы в 1825 году. Этот способ может применяться при любых расстояниях между точками на эллипсоиде и с любой практически необходимой точностью. Для решении прямой геодезической задачи при любых больших расстояниях способ Бесселя следует считать наилучшим.

Последовательность решения прямой геодезической задачи

по способу Бесселя.

Исходные величины: широта В₁,долгота L₁ и азимут А_1.2 в начальной точке геодезической линии и её длина s.

Искомые величины: широта В₂,долгота L₂ и азимут А_2.1 в конечной точке геодезической линии.

Вычисление приведенной широты начальной точки.