Основные определения и задачи сфероидической геодезии
Основной задачей геодезии является определение взаимного положения точек земной поверхности и околоземного пространства в соответствующей системе координат. В качестве координатной поверхности в геодезии принимается поверхность земного эллипсоида( геометрическая модель Земли ). Под земным эллипсоидом понимают поверхность эллипсоида вращения, форма и размеры которого определяются из совместной математической обработки астрономических, гравиметрических и геодезических измерений, выполненных на физической поверхности Земли. Под физической моделью Земли понимаютгеоид, тело которого ограничено гладкой, всюду выпуклой поверхностью, в каждой точке которой вектор силы тяжести является нормалью, а поле силы тяжести имеет характеристики, идентичные характеристикам поля силы тяжести реальной Земли (реальное гравитационное поле). Характеристики этого поля получают из гравиметрических измерений.
В зависимости от ориентировки в теле Земли, различают общий земной эллипсоид, ось вращения и плоскость экватора которого совпадают с осью вращения и плоскостью экватора реальной Земли на некоторую эпоху. Поверхность общего земного эллипсоида наилучшим образом подходит ко всей поверхности геоида. Если поверхность эллипсоида ориентируется в теле Земли так, чтобы наилучшим образом подходить к некоторой части поверхности геоида, например, на территории отдельного государства или группы государств, такой эллипсоид называютреференц – эллипсоидом. Ориентировка поверхности референц – эллипсоида производится установлением исходных геодезических дат для центра геодезического пункта, который является исходным для всей государственной геодезической сети. Ось вращения и плоскость экватора референц – эллипсоида параллельны оси вращения и плоскости экватора реальной Земли на некоторую эпоху. Земной эллипсоид с принятыми физическими характеристиками называютНормальной Землей, формирующейнормальное гравитационное поле, характеристики которого получают из вычислений. Разности ускорений силы тяжести в реальном и нормальном полях определяютаномальное гравитационное поле. Геометрическими характеристиками этого поля служат величины, характеризующие непараллельность поверхностей геоида и земного эллипсоида –уклонения отвесаи высоты поверхности геоида над эллипсоидом –аномалии высот.
При решении задач сфероидической геодезии принимают основные параметры земного эллипсоида большую полуось – а и полярное сжатие - точными величинами и поэтому все вычисления, связанные с решение тех или иных завдач на поверхности эллипсоида выполняют с необходимой точностью. Методы определения параметров земного эллипсоида, установления систем координат на его поверхности, а также изучение аномального гравитационного поля с целью редуцирования измерений с физической поверхности Земли на поверхность эллипсоида рассматриваются в теоретической ( физической ) геодезии.
При решении задач сфероидической геодезии считают параметры земного эллипсоида как координатной поверхности установленными, а измерения редуцированными с точностью, необходимой и достаточной. Положение точек определяется пространственными геодезическими координатами: широтой B, долготой L, высотой H.Геодезической широтойточки называется угол, образованный нормалью к поверхности эллипсоида с плоскостью его экватора,геодезической долготой– двугранный угол, образованный меридианом данной точки с меридианом, принятым за начальный,геодезической высотой– отрезок нормали к поверхности эллипсоида.Геодезическим меридианомназывается геометрическое место точек равных долгот, он получается как линия пересечения поверхности эллипсоида плоскостью, содержащей в себе ось его вращения,геодезической параллельюназывается геометрическое место точек равных широт, получается как линия пересечения поверхности эллипсоида плоскостью, проведенной перпендикулярно оси его вращения. Все меридианы земного эллипсоида – эллипсы, а параллели – окружности. Параллель наибольшего радиуса называетсягеодезическим экватором. При решении геодезических задач с применением спутниковых систем позиционирования, когда носители координат – ИСЗ могут находиться на значительных высотах над эллипсоидом, широкое применение нашлисистемы пространственных прямоугольных координат ( X, Y, Z), центр которых совпадает с геометрическим центром земного эллипсоида, оси абсцисс и ординат лежат в плоскости экватора, образуя правую систему координат, ось аппликат совпадает с осью вращения эллипсоида.
В сфероидической геодезии используется также система полярных координат – азимуты геодезических линий и их длины ( геодезические азимуты и расстояния на поверхности эллипсоида ), которые получаются путем редуцирования на поверхность эллипсоида результатов угловых и линейных измерений. Геодезическим азимутом направления в данной точке называется угол, образованный геодезической линией и геодезическим меридианом данной точки. Сфероидическая геодезия решает задачи определения взаимного положения точек на поверхности земного эллипсоида, используя его геометрию, связь между системами координат.
Для массовых геодезических работ, особенно в практических приложениях геодезических данных, системы координат на поверхности эллипсоида неудобны, решение задач трудоемко, поэтому в сфероидической геодезии также решаются задачи отображения поверхности земного эллипсоида на плоскости по математическим законам в геодезической проекциис целью установления системы плоских прямоугольных и полярных координат.
При решении задач сфероидической геодезии принципиально важными являются вопросы необходимой точности вычислений. Здесь недопустимо наложение ошибок вычислений на ошибки измерений. Ошибки вычислений состоят как из точности рабочих формул, так и ошибок округлений и должны быть на порядок менее значимыми по сравнению с ошибками измерений. Это объясняется тем, что математическая обработка результатов геодезических измерений с целью получения их вероятнейших значений производится по методу наименьших квадратов. Вероятно-статистическое обоснование метода наименьших квадратов указывает на то, что ошибки измерений должны носит случайный характер и подчиняться нормальному закону распределения. Методика геодезических измерений и приборы для их выполнения разрабатываются так, чтобы совокупное влияние на формирование ошибки измеренного элемента отвечало требованиям центральной предельной теоремы Ляпунова о случайных величинах, подчиняющихся нормальному закону распределения. При этом, чем выше класс и точность приборов для геодезических измерений, тем строже эти требования выполняются.
Основные определения и задачи сфероидической геодезии.
Раздел высшей геодезии, в котором рассматриваются математические методы решения геодезических задач на поверхности эллипсоида, называется сфероидическая геодезия.
Закатов П.С. пишет: «геоид – уровенная поверхность, совпадающая в океане с невозмущенной поверхностью воды, мысленно продолженная под материками так, чтобы направления отвесных линий пересекали эту поверхность во всех ее точках под прямым углом».
У Подшивалова записано: «под физической моделью Земли понимают геоид – тело, которое ограничено гладкой, всюду выпуклой поверхностью, в каждой точке которой вектор силы тяжести является нормалью, а поле силы тяжести имеет характеристики поля силы тяжести реальной земли».
У Пеллинена определение геоида такое: «геоид – это уровенная поверхность поля силы тяжести, проходящая через начало отсчета высот».
Пеллинен дальше пишет: «однако средний уровень океана из-за различия температуры и солености воды в различных частях мирового океана и ряда других причин поверхность геоида строго не совпадает с указанным уровнем. Например, в зоне Панамского канала разность составляет 62 см. До 70 см выше уровня Черного моря и морей Северного Ледовитого океана и Тихого океана располагается нуль-пункт Кранштадского футштока. В открытых частях мирового океана отклонение среднего уровня воды от геоида может достигать 1 метра».
Фигуру геоида под районами суши определить невозможно, поэтому в геодезии переходят к определению квазигеоида. Квазигеоид – это такая поверхность, которая однозначно определяется по наземным измерениям, совпадающая с геоидом на морях.
Понятие квазигеоида было впервые предложено М.С. Молоденским.
В зависимости от ориентации в теле Земли различают общеземной эллипсоид, ось вращения и плоскость экватора которого совпадают с осью вращения и плоскостью экватора Земли на некоторую эпоху.
Дата добавления: 2015-08-11 ; просмотров: 1203 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Главная геодезическая задача
1. Общие сведения о решении главной геодезической
задачи на поверхности эллипсоида
Основной задачей геодезии является определение координат точек земной поверхности и околоземного пространства. Координатной поверхностью в геодезии, как известно, является поверхность земного эллипсоида. Таким образом, задача сводится к вычислению сфероидических координат по результатам спутниковых, астрономических, гравиметрических и геодезических измерений с использованием геометрии земного эллипсоида.
Как отмечалось ранее, на поверхности земного эллипсоида приняты две системы геодезических координат – параметрическая ( широты и долготы, пространственные прямоугольные ) и полярная ( азимуты и расстояния ). В результате спутниковых и астрономических измерений и их редуцирования на поверхность эллипсоида получают пространственные прямоугольные координаты, геодезические широты, долготы точек и азимуты направлений. Геодезические измерения, выполненные в триангуляции, трилатерации, полигонометрии и их сочетаниях, после редуцирования на поверхность эллипсоида дают длины геодезических линий между точками эллипсоида и углы между ними. Точность редукционных вычислений всегда на порядок выше точности измерений соответствующих величин, поэтому при их математической обработке считают величины на эллипсоиде измеренными.
ущность главной геодезической задачи сводится к установлению связи между системой параметрических и полярных координат на поверхности эллипсоида. Формулы связи пространственных прямоугольных координат и геодезических широт, долгот и высот нами рассмотрены ранее. Поэтому при рассмотрении методов решения главной геодезической задачи на поверхности земного эллипсоида под параметрическими координатами мы будем понимать геодезические широты и долготы. В основе решения главной геодезической задачи лежит полярный сфероидический треугольникPAB( рис. 6. 1 ). Различаютпрямую и обратную геодезические задачи.
Прямая геодезическая задача: по известным геодезическим широте (B1) и долготе ( L1) одной точки, длине (S12) и азимуту (А12) геодезической линии до другой точки вычислить геодезические широту (B2) и долготу ( L2) другой точки, а также обратный азимут (А21).
Здесь требуется вычислить параметрические координаты определяемой точки, обратный азимут по ее полярным координатам, отсчитанным от исходной точки.
Обратная геодезическая задача: по известным геодезическим широтам ( В1,B2) и долготам ( L1, L2 ) двух точек вычислить прямой и обратный азимуты (А12 , А21) и длину геодезической линии между ними (S12 ).
Здесь по известным параметрическим координатам двух точек вычисляются связывающие их полярные координаты.
Если бы шла речь о решении главной геодезической задачи на сфере единичного радиуса, то применимы формулы сферической тригонометрии для решения полярного сферического треугольника. При этом, как в прямой, так и в обратной задачах необходимо в треугольнике по трем известным элементам вычислить три неизвестные. Здесь задача решается однозначно и точность ее решения зависит только от формата вычислений.
Замкнутых формул сфероидической тригонометрии не существует, поэтому решение главной геодезической задачи на поверхности земного эллипсоида производится приближенными методами, в основе которых лежат различные пути приближенного интегрирования системы дифференциальных уравнений для геодезической линии эллипсоида вращения ( 4. 39 ), которую запишем в следующем виде
(6. 1 )
При выборе этих путей следует иметь в виду, что сжатие земного эллипсоида величина малая, а расстояния между точками, для которых необходимо решать задачу могут существенно различаться. Так при решении прямой задачи это расстояние ограничивается дальностью действия геодезических приборов ( теодолитов, дальномеров, спутниковых и других навигационных систем ). При решении обратной задачи при полигональном уравнивании геодезических построений – длинами первоклассных звеньев, в навигации – расположением начальных и конечных пунктов дистанции. Немецкий астроном и геодезист Ф. Гельмерт предложил следующую градацию расстояний в геодезии:
малые – ( S / R ) ≤ 0. 01 ( до 60 км );
средние – 0. 01 0. 1 ( от 600 до 20 000 км ).
С развитием науки и техники точность и дальность действия геодезических приборов возрастает, совершенствуются измерительные технологии, методы их математической обработки и представления на основе автоматизации с широким применением ЭВМ. В связи с этим в настоящее время главная геодезическая задача должна с необходимой точностью решаться на любые расстояния, для чего разработаны соответствующие алгоритмы ее решения на ЭВМ.
Вместе с тем полезно проследить, как в историческом аспекте формировались знания в этой области. Следует отметить, что при вычислениях вручную с использованием малой вычислительной техники (арифмометров, калькуляторов) и специальных таблиц, весьма важным фактором являлся объем вычислений. При этом наиболее часто возникала практическая потребность в решении прямой и обратной задач на малые расстояния, реже на средние и исключительно редко на большие расстояния. При этом необходимая точность решения задач понижалась с возрастанием расстояний. Это определялось уровнем развития измерительных технологий и потребностями в геодезическом обеспечении навигационных средств.
В связи с этим различают два пути решения главной геодезической задачи: прямой и косвенный.В прямом пути предполагается вычисление значений искомых величин по известным. В косвенном пути вычисляются разности между известными и искомыми величинами, которые затем вводятся в соответствующие значения известных величин для вычисления искомых. Наибольший эффект по сокращению объема вычислений вручную достигается применением косвенного пути решения задачи на малые расстояния, когда разности координат исходного и определяемого пунктов – величины малые и число значащих цифр при их вычислениях вручную существенно меньше.
Известны различные методы решения главной геодезической задачи, но все они приводят к разложению в ряды по степеням малых величин S/Rи эксцентриситета меридианного элипса. Понятно, что только при малых расстояниях разложения в ряды по степенямS/Rдают эффект, в других случаях применимы только ряды по степеням эксцентриситета, сходимость которых практически не зависит от расстояний. В этом контексте мы рассмотрим наиболее известные два метода решения главной геодезической задачи.